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| Modulbezeichnung (engl.):
Discrete Mathematics |
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| Code: DFI-DM |
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3V+1U (4 Semesterwochenstunden) |
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6 |
| Studiensemester: 1 |
| Pflichtfach: nein |
Arbeitssprache:
Deutsch |
Prüfungsart:
Klausur (120 min)
[letzte Änderung 17.06.2024]
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DFI-DM (P610-0269) Informatik, Master, ASPO 01.10.2018
, 1. Semester, Wahlpflichtfach
KI873 Kommunikationsinformatik, Master, ASPO 01.04.2016
, 2. Semester, Wahlpflichtfach, informatikspezifisch
KIM-DM (P222-0051) Kommunikationsinformatik, Master, ASPO 01.10.2017
, 1. Semester, Pflichtfach
PIM-DM (P222-0051) Praktische Informatik, Master, ASPO 01.10.2011
, 2. Semester, Pflichtfach
PIM-DM (P222-0051) Praktische Informatik, Master, ASPO 01.10.2017
, 1. Semester, Pflichtfach
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Die Präsenzzeit dieses Moduls umfasst bei 15 Semesterwochen 60 Veranstaltungsstunden (= 45 Zeitstunden). Der Gesamtumfang des Moduls beträgt bei 6 Creditpoints 180 Stunden (30 Std/ECTS). Daher stehen für die Vor- und Nachbereitung der Veranstaltung zusammen mit der Prüfungsvorbereitung 135 Stunden zur Verfügung.
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Empfohlene Voraussetzungen (Module):
Keine.
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Als Vorkenntnis empfohlen für Module:
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Modulverantwortung:
Prof. Dr. Peter Birkner |
Dozent/innen: Prof. Dr. Peter Birkner
[letzte Änderung 09.08.2020]
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Lernziele:
Nach Absolvierung des Moduls verstehen die Studierenden das Konzept der Modularen Arithmetik und können es in unterschiedlichen Situationen anwenden. Sie können mit Restklassen rechnen und leiten daraus die Gruppenstruktur ab.
Die Studierenden kennen den Chinesischen Restsatz und identifizieren Situationen, in denen er anwendbar ist. Sie lösen damit Systeme von Kongruenzgleichungen.
Die Studierenden wissen, was Primzahlen sind und können ihre Eigenschaften beschreiben. Sie kennen und verstehen den Fermat´schen Primzahltest und können diesen auf natürliche Zahlen anwenden.
Die Studierenden wiederholen die Grundlagen der Gruppentheorie. Sie untersuchen Eigenschaften von Gruppen und erkennen diese in verschiedenen Kontexten wieder.
Die Studierenden verstehen das Problem des Diskreten Logarithmus. Sie können es mit dem Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus selbstständig lösen und als Anwendung das Diffie-Hellman-Protokoll durchführen.
Die Studierenden wissen, was eine Elliptische Kurve ist und können mit ihren Punkten rechnen. Sie entwickeln ein Verständnis dafür, dass diese Punkte eine Gruppe bilden und können Ergebnisse aus der Gruppentheorie darauf anwenden.
[letzte Änderung 11.07.2024]
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Inhalt:
1. Modulare Arithmetik
Teilbarkeit, Kongruenzen, effizientes Potenzieren modulo p, Teilbarkeitsregeln, Restklassen, Inverse Restklassen, Restklassengruppen, Euler´sche Phi-Funktion und deren Berechnung
2. Der Chinesische Restsatz (CRT)
CRT für 2 Gleichungen, CRT allgemein, Beispiele und Anwendungen
3. Primzahlen
Primzahlen, Fundamentalsatz der Algebra, es gibt unendlich viele Primzahlen, Primzahlsatz, Kleiner Satz von Fermat, Fermat-Primzahltest, Pseudoprimzahlen
4. Gruppentheorie
Gruppenaxiome, Untergruppe, Exponentiation in Gruppen, zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen und Gruppen, Homomorphismen, Kern und Bild
5. Der Diskrete Logarithmus (DL)
Der DL, Square-and-Multiply-Verfahren, Shanks´ Baby-Step-Giant-Step-Algorithmus, Das Diffie-Hellman-Protokoll
6. Körpertheorie
Endliche Körper, Charakteristik
7. Elliptische Kurven (EC)
EC, Punkte auf der EC, Weierstraß-Gleichung, Gruppengesetz, graphische Addition, Diskriminante, Punktzahl einer EC über F_p, Das Hasse-Weil-Intervall
[letzte Änderung 11.07.2024]
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Literatur:
- Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie (Beispiele, Geschichte, Algorithmen) Springer, 2015
- Washington: Elliptic Curves (Number Theory and Cryptography), Chapman& Hall, 2008
- Iwanowski, Lang: Diskrete Mathematik mit Grundlagen (Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern), Springer, 2014
[letzte Änderung 11.07.2024]
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